在概率论与数理统计中，随机变量及其分布是核心概念之一。它不仅帮助我们理解不确定现象的本质，还为实际问题提供了强有力的分析工具。本文将围绕随机变量的概念、常见分布类型以及相关习题进行系统性总结，并提供详细的解答过程。

一、随机变量的基本概念

随机变量是一个定义在样本空间上的实值函数，通常用大写字母如 \( X \) 表示。根据取值特点，可以分为离散型随机变量和连续型随机变量两大类。

- 离散型随机变量：其可能取值是有限个或可列无限多个，并且每个取值都有相应的概率。

- 连续型随机变量：其取值范围是一个区间，且概率集中在某个区域内。

随机变量的概率分布描述了随机变量所有可能取值与其对应概率的关系。对于离散型随机变量，常用概率质量函数 (PMF) 来表示；而对于连续型随机变量，则使用概率密度函数 (PDF) 描述。

二、常见分布类型

1. 离散型分布

- 伯努利分布：\( P(X=1)=p, P(X=0)=1-p \)，常用于表示一次试验的成功或失败。

- 二项分布：\( B(n,p) \)，表示 \( n \) 次独立重复试验中成功次数的概率分布。

- 泊松分布：\( Poisson(\lambda) \)，适用于稀有事件的发生次数建模。

2. 连续型分布

- 均匀分布：\( U(a,b) \)，指在区间 [a,b] 上任意一点出现的可能性相同。

- 正态分布：\( N(\mu,\sigma^2) \)，是最重要的一种连续型分布，广泛应用于自然界和社会科学领域。

- 指数分布：\( Exp(\lambda) \)，用来描述等待时间等非负随机变量。

三、经典习题及解答

例题1：假设某工厂生产的产品合格率为90%，现随机抽取3件产品检查，请问至少有一件不合格的概率是多少？

解：设事件 A 表示“至少有一件不合格”，则 \( P(A) = 1 - P(\text{全部合格}) \)。由于每次抽样结果相互独立，

\[ P(\text{全部合格}) = (0.9)^3 = 0.729 \]

因此，

\[ P(A) = 1 - 0.729 = 0.271 \]

例题2：已知某地区居民寿命服从均值为75岁、标准差为10岁的正态分布，求该地区居民寿命超过80岁的概率。

解：令 \( X \sim N(75, 10^2) \)，标准化后得到标准正态分布 Z：

\[ Z = \frac{X-\mu}{\sigma} = \frac{80-75}{10} = 0.5 \]

查表得 \( P(Z > 0.5) = 1 - \Phi(0.5) \approx 1 - 0.6915 = 0.3085 \)

四、总结

通过上述内容可以看出，掌握随机变量及其分布的关键在于理解基本概念、熟练运用各种分布模型，并能够结合具体情境灵活解决问题。希望本文提供的知识点梳理与实例练习能为大家的学习带来帮助！