在数学领域中，一元三次方程是形如 \( ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \) 的代数方程，其中 \( a \neq 0 \)。解决这类方程的方法有很多，其中最著名的当属卡尔达诺公式（Cardano's Formula），它是由意大利数学家吉罗拉莫·卡尔达诺在16世纪提出的。

首先，我们需要将方程标准化为没有二次项的形式，即通过变量替换将其转化为 \( y^3 + py + q = 0 \) 的形式。这一过程被称为去重法，具体步骤如下：

1. 设 \( x = y - \frac{b}{3a} \)，然后将这个表达式代入原方程。

2. 展开并整理后，会得到一个新的方程，其中 \( y^3 \) 的系数保持不变，而 \( y^2 \) 的项消失了。

接下来，我们使用卡尔达诺公式来求解简化后的方程 \( y^3 + py + q = 0 \)。首先定义两个辅助量 \( \Delta_0 = (3p)^2 \) 和 \( \Delta_1 = (2p^3) - (9pq) \)，并计算判别式 \( \Delta = (\frac{\Delta_1}{2})^2 + (\frac{\Delta_0}{3})^3 \)。

根据判别式的值，我们可以判断方程有几个实根：

- 如果 \( \Delta > 0 \)，则方程有一个实根和一对共轭复根。

- 如果 \( \Delta = 0 \)，则方程有三个实根，其中至少有两个相等。

- 如果 \( \Delta < 0 \)，则方程有三个不相等的实根。

对于 \( \Delta < 0 \) 的情况，可以利用三角函数来表示解。设 \( \theta = \arccos(-\frac{\Delta_1}{2\sqrt{-\Delta}}) \)，那么三个实根可以表示为：

\[ y_k = 2\sqrt{-\frac{p}{3}} \cos\left(\frac{\theta + 2k\pi}{3}\right), \quad k=0,1,2 \]

最后，我们将这些 \( y_k \) 值代回最初的变量替换公式 \( x = y - \frac{b}{3a} \)，即可得到原方程的所有解。

值得注意的是，在实际应用中，尤其是工程或物理问题中，可能需要结合数值方法或者计算机程序来进行更精确的计算。此外，还有一些特殊情况下的简化算法，比如某些特定系数的方程可以直接分解因式求解。

总之，虽然一元三次方程的解法较为复杂，但掌握了基本原理之后，便能够灵活应对各种具体情境下的问题。