在高中数学的学习中，对数函数是一个重要的知识点，它不仅在理论上有深刻的意义，而且在实际问题中也有广泛的应用。为了帮助同学们更好地掌握这一部分知识，我们特别整理了这份高一数学对数函数的综合练习题，并附上了详细的答案解析。
一、选择题
1. 已知函数 \(f(x) = \log_a x\) 的图像经过点 (9, 2)，则底数 \(a\) 的值为：
- A. 3
- B. 4
- C. 5
- D. 6
解析：由已知条件 \(f(9) = 2\)，可得 \(\log_a 9 = 2\)。根据对数定义，\(a^2 = 9\)，因此 \(a = 3\)。答案选 A。
2. 若 \(\log_2 x + \log_2 y = 3\)，则 \(xy\) 的值为：
- A. 4
- B. 6
- C. 8
- D. 10
解析：利用对数加法公式 \(\log_a m + \log_a n = \log_a (m \cdot n)\)，可得 \(\log_2 (xy) = 3\)，即 \(xy = 2^3 = 8\)。答案选 C。
二、填空题
3. 若 \(\log_3 x = -2\)，则 \(x =\) ________。
解析：由 \(\log_3 x = -2\) 可得 \(x = 3^{-2} = \frac{1}{9}\)。答案为 \(\frac{1}{9}\)。
4. 已知函数 \(g(x) = \log_{\frac{1}{2}} x\)，则 \(g(8) =\) ________。
解析：利用对数换底公式 \(\log_{\frac{1}{2}} x = -\log_2 x\)，可得 \(g(8) = -\log_2 8 = -3\)。答案为 \(-3\)。
三、解答题
5. 解方程 \(\log_4 x + \log_4 (x-3) = 2\)。
解析：利用对数加法公式 \(\log_a m + \log_a n = \log_a (m \cdot n)\)，可得 \(\log_4 [x(x-3)] = 2\)。进一步化简为 \(x(x-3) = 4^2 = 16\)。展开后得到 \(x^2 - 3x - 16 = 0\)。解此一元二次方程，得 \(x = 4\) 或 \(x = -1\)。由于 \(x > 0\) 且 \(x-3 > 0\)，最终解为 \(x = 4\)。
6. 已知函数 \(h(x) = \log_2 (x+1)\)，求其反函数 \(h^{-1}(x)\)。
解析：设 \(y = h(x) = \log_2 (x+1)\)，则 \(x+1 = 2^y\)。由此可得 \(x = 2^y - 1\)。因此，反函数为 \(h^{-1}(x) = 2^x - 1\)。
通过以上题目和解析，我们可以看到对数函数的核心在于熟练运用对数的基本性质和公式。希望同学们能够通过这些练习题巩固基础，提升解题能力！
