在数学中，二次函数是一种重要的函数形式，通常可以表示为一般式 \(y = ax^2 + bx + c\)。然而，在某些情况下，将二次函数转换为顶点式 \(y = a(x-h)^2 + k\) 更有利于分析其性质，例如顶点坐标和对称轴等信息。下面我们将详细探讨如何通过“配方”的方法，将一般式转化为顶点式。
第一步：提取二次项系数
首先，确保二次项系数 \(a\) 不为零（如果 \(a=0\)，则该函数不再是二次函数）。然后从原方程中提取出 \(a\)：
\[ y = a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c \]
这里，我们暂时忽略常数项 \(c\)，专注于处理括号内的部分。
第二步：完成平方
为了完成平方，我们需要关注括号内部的内容 \(x^2 + \frac{b}{a}x\)。根据完全平方公式 \((x+p)^2 = x^2 + 2px + p^2\)，我们可以确定中间项 \(2px\) 对应于 \(\frac{b}{a}x\)。因此，
\[ 2p = \frac{b}{a}, \quad p = \frac{b}{2a} \]
接下来，在括号内加上并减去 \(p^2 = (\frac{b}{2a})^2\)，这样不会改变表达式的值：
\[ x^2 + \frac{b}{a}x = (x + \frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2 \]
第三步：重新组合方程
将上述结果代入原方程，并结合常数项 \(c\)：
\[ y = a[(x + \frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2] + c \]
展开后得到：
\[ y = a(x + \frac{b}{2a})^2 - a(\frac{b}{2a})^2 + c \]
进一步简化：
\[ y = a(x + \frac{b}{2a})^2 + [c - a(\frac{b}{2a})^2] \]
第四步：确定顶点坐标
观察最终表达式 \(y = a(x + \frac{b}{2a})^2 + [c - a(\frac{b}{2a})^2]\)，可以看出它已经符合顶点式的标准形式 \(y = a(x-h)^2 + k\)。其中：
- 水平位移 \(h = -\frac{b}{2a}\)
- 垂直位移 \(k = c - a(\frac{b}{2a})^2\)
因此，二次函数的顶点坐标为 \((- \frac{b}{2a}, c - a(\frac{b}{2a})^2)\)。
结论
通过以上步骤，我们成功地将一般式 \(y = ax^2 + bx + c\) 转换成了顶点式 \(y = a(x-h)^2 + k\)。这种方法不仅帮助我们更好地理解二次函数的几何特性，还为后续的求解提供了便利条件。希望本文能够帮助大家更深入地掌握这一知识点！
