（最新整理）二项式定理（习题含答案）

在数学学习中，二项式定理是一个非常重要的知识点，它不仅在代数中有广泛的应用，而且在概率论和组合数学等领域也有着不可忽视的地位。为了帮助大家更好地理解和掌握这一知识点，本文将通过一系列精选习题来巩固相关知识，并附上详细的解答过程。

首先，让我们回顾一下二项式定理的基本公式：

\[

(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C(n, k) \cdot a^{n-k} \cdot b^k

\]

其中，\(C(n, k)\) 表示组合数，即从 \(n\) 个不同元素中取出 \(k\) 个元素的方式数。

接下来，我们进入练习部分：

练习题

1. 展开 \((x + 2)^5\)。

2. 计算 \((3x - 1)^4\) 的展开式中 \(x^3\) 的系数。

3. 若 \((a + b)^6 = 64a^6 + 192a^5b + 240a^4b^2 + \dots\)，求 \(a\) 和 \(b\) 的值。

答案解析

1. 解题步骤：

根据二项式定理，我们可以逐步计算每一项的系数。最终结果为：

\[

(x + 2)^5 = x^5 + 10x^4 + 40x^3 + 80x^2 + 80x + 32

\]

2. 解题步骤：

我们需要找到 \(x^3\) 对应的项。根据公式，该项为：

\[

C(4, 1) \cdot (3x)^3 \cdot (-1)^1 = 4 \cdot 27x^3 \cdot (-1) = -108x^3

\]

因此，\(x^3\) 的系数为 \(-108\)。

3. 解题步骤：

比较已知展开式与标准形式，我们可以得出：

\[

C(6, 1) \cdot a^5b = 192a^5b

\]

即：

\[

6a^5b = 192a^5b

\]

解得 \(a = 2\)，再由其他项验证 \(b = 1\)。

希望这些习题和答案能帮助你更好地理解二项式定理的应用。如果有任何疑问或需要进一步的帮助，请随时联系我！

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