在数学学习中，分式是一个重要的概念，它涉及到分数形式的表达和运算。熟练掌握分式的相关知识，不仅能够帮助我们解决日常生活中的实际问题，还能为更高级别的数学学习打下坚实的基础。接下来，我们将通过一系列练习题来巩固对分式的基本理解和应用。
基础练习题
题目1
计算：
\[
\frac{3}{4} + \frac{5}{6}
\]
解析
首先找到两个分数的最小公倍数，这里是12。然后将每个分数化为以12为分母的形式：
\[
\frac{3}{4} = \frac{9}{12}, \quad \frac{5}{6} = \frac{10}{12}
\]
接着相加：
\[
\frac{9}{12} + \frac{10}{12} = \frac{19}{12}
\]
因此，答案是\(\frac{19}{12}\)。
题目2
化简：
\[
\frac{x^2 - 4}{x - 2}
\]
解析
观察分子，发现这是一个平方差公式：
\[
x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)
\]
因此，原式可以化简为：
\[
\frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = x + 2 \quad (\text{当 } x \neq 2)
\]
提高练习题
题目3
解方程：
\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} = \frac{7}{6}
\]
解析
将方程两边通分为相同的分母：
\[
\frac{x+1 + x}{x(x+1)} = \frac{7}{6}
\]
即：
\[
\frac{2x+1}{x(x+1)} = \frac{7}{6}
\]
交叉相乘得到：
\[
6(2x+1) = 7x(x+1)
\]
展开并整理后得到一元二次方程：
\[
7x^2 - 5x - 6 = 0
\]
利用求根公式解得：
\[
x = 2 \quad \text{或} \quad x = -\frac{3}{7}
\]
但需注意，\(x\)不能为0或-1（因为分母不能为零），所以最终解为\(x = 2\)。
题目4
已知分式\(\frac{a+b}{ab}\)，若\(a\)和\(b\)满足\(a+b=10\)且\(ab=24\)，求该分式的值。
解析
将已知条件代入分式：
\[
\frac{a+b}{ab} = \frac{10}{24} = \frac{5}{12}
\]
因此，分式的值为\(\frac{5}{12}\)。
以上练习题涵盖了分式的加减法、化简以及解方程等内容，希望同学们能够通过这些题目加深对分式知识的理解，并提高自己的解题能力。数学的学习需要不断的练习和总结，希望大家能够在实践中逐步提升自己！
