在数学学习的道路上，竞赛无疑是一块试金石，它不仅检验了学生对基础知识的掌握程度，还考验了学生的逻辑思维能力和创新意识。2012年的全国高中数学联赛作为一项重要的数学竞赛活动，吸引了众多优秀学子参与其中。本文将围绕该年度的比赛试题展开，并提供详细的解答过程。

一、比赛背景与意义

全国高中数学联赛是由中国数学会主办的一项面向高中生的数学竞赛，旨在选拔具有数学天赋的学生，为更高层次的国际数学奥林匹克竞赛输送人才。这项赛事自创办以来，一直受到广泛的关注和支持，成为培养数学兴趣、提高数学能力的重要平台。

二、2012年试题回顾

（一）选择题部分

1. 题目描述：设函数f(x) = x^3 - 3x + 1，则方程f(x) = 0的所有实根之和为多少？

解析：

根据韦达定理，三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0的根的和等于-b/a。因此，对于给定的方程f(x)=x^3-3x+1=0，其系数a=1，b=0，c=-3，d=1。所以，所有实根之和为-b/a=0/1=0。

2. 题目描述：已知集合A={1,2,3,...,n}，从中任取两个不同的元素构成一个有序对(a,b)，则满足条件a+b≤n的概率是多少？

解析：

首先计算总的有序对数量，即C(n,2)2=n(n-1)。然后考虑满足条件a+b≤n的情况数。当a固定时，b可以取值从1到n-a，共有n-a个可能的选择。因此，总的情况数为∑(n-a)，其中a从1取到n-1。经过化简后得到结果为(n-1)/2。

（二）填空题部分

1. 题目描述：若正整数m,n满足m^2+n^2=50，则mn的最大值是多少？

解析：

利用勾股定理的思想，寻找满足条件的正整数解。通过尝试可得m=7,n=1或m=1,n=7时达到最大值mn=7。

2. 题目描述：设向量a=(1,2), b=(3,4)，则向量a与b的夹角余弦值是多少？

解析：

向量a与b的夹角余弦值公式为cosθ=(a·b)/(|a||b|)。代入数据计算得到cosθ=11/√65。

三、总结

通过对2012年全国高中数学联赛试题的分析，我们可以看到这些题目涵盖了代数、几何等多个领域的内容，既考察了基本知识的应用，又体现了对学生综合能力的要求。希望广大考生能够从中学到更多解决问题的方法，不断提升自己的数学素养。同时，也祝愿每一位参赛者都能取得理想的成绩，在未来的数学旅程中不断进步！