在数学的世界里，欧拉公式以其简洁而深邃的形式成为众多学者和爱好者津津乐道的经典之一。然而，提到“欧拉公式”，很多人可能首先想到的是著名的欧拉恒等式 \(e^{i\pi} + 1 = 0\)。但实际上，欧拉在数学领域贡献了许多重要的公式和定理。这里我们介绍八个与欧拉相关的数学公式，它们不仅展示了数学的美，也揭示了自然界的规律。

1. 欧拉恒等式

\[ e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta \]

这是复数理论中的核心公式，它将指数函数、三角函数以及虚数单位联系起来，是数学中最美妙的关系之一。

2. 欧拉积分（Gamma函数）

\[ \Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}e^{-t} dt \]

Gamma函数扩展了阶乘的概念到实数和复数域，是分析学中不可或缺的一部分。

3. 欧拉数论公式

\[ \phi(n) = n \prod_{p|n} \left(1 - \frac{1}{p}\right) \]

这个公式定义了欧拉函数 \(\phi(n)\)，表示小于 \(n\) 且与 \(n\) 互质的正整数的数量。

4. 欧拉无穷级数

\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} \]

这一结果首次由欧拉证明，揭示了自然数平方倒数之和与圆周率之间的神秘关系。

5. 欧拉多面体公式

\[ V - E + F = 2 \]

对于任何凸多面体，顶点数减去边数加上面数总是等于2。这一公式奠定了拓扑学的基础。

6. 欧拉积分公式

\[ \int_0^1 x^{m-1}(1-x)^{n-1} dx = \frac{\Gamma(m)\Gamma(n)}{\Gamma(m+n)} \]

该公式描述了Beta函数与Gamma函数之间的关系。

7. 欧拉微分方程

\[ x^2y'' + axy' + by = 0 \]

这是一个典型的二阶线性齐次微分方程，广泛应用于物理学和工程学中。

8. 欧拉公式（多变量情况）

\[ f(x_1, x_2, ..., x_n) = \sum_{S \subseteq \{1, 2, ..., n\}} (-1)^{|S|}f\left(\sum_{i \in S}x_i\right) \]

此公式给出了多元函数的一个重要性质，在组合数学中有广泛应用。

这些公式不仅仅是数学工具，更是人类智慧的结晶。它们帮助我们理解宇宙的本质，并激发了无数科学家和技术人员的创造力。通过学习这些公式，我们可以更好地欣赏数学之美及其在现实生活中的应用价值。