一、学习目标
1. 理解向量的基本概念，掌握向量的加法与减法运算。
2. 能够运用几何方法和代数方法进行向量的线性运算。
3. 理解向量的数乘运算及其几何意义。
4. 能够利用向量的线性运算解决简单的实际问题。
二、重点与难点
- 重点：向量的加法与减法法则，向量的数乘运算。
- 难点：理解向量运算的几何意义，灵活应用向量的线性运算解决问题。
三、知识回顾
1. 向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量。向量可以用有向线段表示，也可以用字母表示，如 $\vec{a}$、$\vec{b}$ 等。
2. 向量的模：向量的长度称为向量的模，记作 $|\vec{a}|$。
3. 零向量与单位向量：
- 零向量：长度为0的向量，方向任意。
- 单位向量：长度为1的向量。
四、新知探究
1. 向量的加法
（1）向量加法的定义
已知两个向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$，从一点出发分别作向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$，则从起点到终点的向量 $\vec{c}$ 称为 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的和，记作 $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$。
（2）向量加法的法则
- 三角形法则：将第二个向量的起点与第一个向量的终点重合，那么从第一个向量的起点到第二个向量的终点的向量即为两者的和。
- 平行四边形法则：将两个向量的起点放在同一点，以这两个向量为邻边作平行四边形，对角线所表示的向量即为它们的和。
（3）向量加法的性质
- 交换律：$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$
- 结合律：$(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$
2. 向量的减法
（1）向量减法的定义
向量 $\vec{a} - \vec{b}$ 可以看作是 $\vec{a} + (-\vec{b})$，其中 $-\vec{b}$ 是 $\vec{b}$ 的相反向量。
（2）几何意义
向量 $\vec{a} - \vec{b}$ 表示从 $\vec{b}$ 的终点指向 $\vec{a}$ 的终点的向量。
3. 向量的数乘
（1）数乘的定义
实数 $\lambda$ 与向量 $\vec{a}$ 的乘积是一个新的向量，记作 $\lambda\vec{a}$，其方向与 $\vec{a}$ 相同（当 $\lambda > 0$）或相反（当 $\lambda < 0$），其模为 $|\lambda||\vec{a}|$。
（2）数乘的性质
- 分配律：$\lambda(\vec{a} + \vec{b}) = \lambda\vec{a} + \lambda\vec{b}$
- 结合律：$(\lambda\mu)\vec{a} = \lambda(\mu\vec{a})$
- 数乘的单位元：$1\vec{a} = \vec{a}$
五、例题解析
例题1
已知向量 $\vec{a} = (2, 3)$，$\vec{b} = (-1, 4)$，求 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$。
解：
$$
\vec{a} + \vec{b} = (2 + (-1), 3 + 4) = (1, 7)
$$
$$
\vec{a} - \vec{b} = (2 - (-1), 3 - 4) = (3, -1)
$$
例题2
设 $\vec{a} = (1, 2)$，$\vec{b} = (3, -1)$，求 $2\vec{a} + 3\vec{b}$。
解：
$$
2\vec{a} = (2, 4), \quad 3\vec{b} = (9, -3)
$$
$$
2\vec{a} + 3\vec{b} = (2 + 9, 4 + (-3)) = (11, 1)
$$
六、课堂练习
1. 已知 $\vec{a} = (5, -2)$，$\vec{b} = (-3, 4)$，求 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$。
2. 若 $\vec{a} = (2, -1)$，$\vec{b} = (3, 5)$，计算 $3\vec{a} - 2\vec{b}$。
3. 画出向量 $\vec{a} = (1, 2)$ 与 $\vec{b} = (-2, 1)$ 的和，并写出其坐标。
七、小结
本节主要学习了向量的加法、减法以及数乘运算，掌握了这些基本的线性运算方法后，可以进一步用于解决更复杂的向量问题，如向量的分解、合成等。
八、课后作业
1. 教材 P68 练习 1、2、3。
2. 完成课后练习题，巩固向量的线性运算方法。
3. 思考题：若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 满足 $\vec{a} + \vec{b} = \vec{0}$，说明 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 之间有什么关系？
备注：本导学案旨在帮助学生理解并掌握平面向量的线性运算，提升学生的逻辑思维能力和运算能力。
