【概率论与数理统计练习题附答案详解】在学习概率论与数理统计的过程中，做练习题是巩固知识、提升解题能力的重要方式。本文将提供一些典型的练习题，并附上详细的解答过程，帮助读者更好地理解和掌握相关知识点。
一、基本概念类题目
题目1：
设随机事件 $ A $ 和 $ B $ 满足 $ P(A) = 0.6 $，$ P(B) = 0.5 $，且 $ P(A \cup B) = 0.8 $，求 $ P(A \cap B) $ 的值。
解析：
根据概率的加法公式：
$$
P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
$$
代入已知数据：
$$
0.8 = 0.6 + 0.5 - P(A \cap B)
$$
解得：
$$
P(A \cap B) = 0.6 + 0.5 - 0.8 = 0.3
$$
答案： $ P(A \cap B) = 0.3 $
二、条件概率与独立性
题目2：
已知某地区男性中吸烟的比例为 $ 40\% $，女性中吸烟的比例为 $ 20\% $，该地区男女比例为 $ 1:1 $。若从该地区随机抽取一人，发现其吸烟，求此人是男性的概率。
解析：
设事件 $ M $ 表示“抽到的是男性”，事件 $ F $ 表示“抽到的是女性”，事件 $ S $ 表示“抽到的人吸烟”。
由题意可知：
- $ P(M) = P(F) = 0.5 $
- $ P(S|M) = 0.4 $
- $ P(S|F) = 0.2 $
要求的是 $ P(M|S) $，使用贝叶斯定理：
$$
P(M|S) = \frac{P(S|M) \cdot P(M)}{P(S)}
$$
其中，$ P(S) = P(S|M)P(M) + P(S|F)P(F) = 0.4 \times 0.5 + 0.2 \times 0.5 = 0.3 $
所以：
$$
P(M|S) = \frac{0.4 \times 0.5}{0.3} = \frac{0.2}{0.3} = \frac{2}{3}
$$
答案： $ P(M|S) = \frac{2}{3} $
三、随机变量与分布
题目3：
设随机变量 $ X $ 服从参数为 $ \lambda = 2 $ 的泊松分布，求 $ P(X \leq 2) $。
解析：
泊松分布的概率质量函数为：
$$
P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}, \quad k = 0,1,2,\ldots
$$
当 $ \lambda = 2 $ 时：
$$
P(X \leq 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)
$$
计算各部分：
- $ P(X=0) = \frac{e^{-2} \cdot 2^0}{0!} = e^{-2} \approx 0.1353 $
- $ P(X=1) = \frac{e^{-2} \cdot 2^1}{1!} = 2e^{-2} \approx 0.2707 $
- $ P(X=2) = \frac{e^{-2} \cdot 2^2}{2!} = 2e^{-2} \approx 0.2707 $
相加得：
$$
P(X \leq 2) \approx 0.1353 + 0.2707 + 0.2707 = 0.6767
$$
答案： $ P(X \leq 2) \approx 0.6767 $
四、假设检验基础
题目4：
某工厂生产零件的长度标准差为 $ \sigma = 0.5 $，现从中抽取一个样本容量为 $ n = 36 $ 的样本，样本均值为 $ \bar{x} = 10.2 $，总体均值为 $ \mu_0 = 10 $，试在显著性水平 $ \alpha = 0.05 $ 下进行假设检验（单侧检验）。
解析：
设定假设：
- $ H_0: \mu = 10 $
- $ H_1: \mu > 10 $
由于总体标准差已知，采用 Z 检验：
$$
Z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{10.2 - 10}{0.5 / \sqrt{36}} = \frac{0.2}{0.5 / 6} = \frac{0.2}{0.0833} \approx 2.4
$$
查标准正态分布表，$ Z_{0.05} = 1.645 $，因为 $ Z = 2.4 > 1.645 $，拒绝原假设。
结论： 在 $ \alpha = 0.05 $ 显著性水平下，有足够证据拒绝 $ H_0 $，认为平均长度大于 10。
总结
通过以上几道练习题的分析与解答，我们可以看到概率论与数理统计在实际问题中的广泛应用。掌握这些基本概念和方法，有助于我们更好地理解数据背后的规律，提升数据分析和决策能力。建议同学们在学习过程中多做练习，结合实例加深理解，逐步提高自己的数学素养和逻辑思维能力。
