【(本科)线性代数期末考试题及答案2套】以下为两套适用于本科阶段的《线性代数》期末考试题目及其参考答案，内容涵盖矩阵运算、行列式、向量空间、特征值与特征向量等核心知识点。本试卷旨在帮助学生巩固所学知识，提高解题能力，并为复习提供参考。
第一套试题
一、填空题（每题4分，共20分）
1. 若矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} $，则其行列式为 ______。
2. 向量 $ \vec{a} = (1, -2, 3) $ 和 $ \vec{b} = (2, 1, -1) $ 的点积为 ______。
3. 矩阵 $ B = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} $ 的特征值为 ______。
4. 设 $ A $ 是一个 $ n \times n $ 矩阵，若 $ \text{rank}(A) = r $，则其零空间的维数为 ______。
5. 若 $ A $ 是正交矩阵，则 $ A^T A = $ ______。
二、选择题（每题5分，共20分）
1. 下列矩阵中，是单位矩阵的是（ ）
A. $ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} $
B. $ \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} $
C. $ \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} $
D. $ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} $
2. 设 $ A $ 是一个 $ 3 \times 3 $ 矩阵，且 $ \det(A) = 0 $，则下列说法正确的是（ ）
A. $ A $ 可逆
B. $ A $ 的秩为3
C. $ A $ 的列向量线性无关
D. $ A $ 的行向量线性相关
3. 向量组 $ \{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)\} $ 是（ ）
A. 线性相关
B. 线性无关
C. 无法判断
D. 与基底无关
4. 若 $ A $ 是对称矩阵，则其特征值一定是（ ）
A. 实数
B. 虚数
C. 零
D. 正数
三、计算题（每题10分，共40分）
1. 计算矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} $ 的行列式。
2. 求矩阵 $ B = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} $ 的逆矩阵。
3. 设 $ \vec{v}_1 = (1, 1, 1) $，$ \vec{v}_2 = (1, 2, 3) $，$ \vec{v}_3 = (1, 3, 5) $，判断该向量组是否线性相关。
4. 求矩阵 $ C = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} $ 的特征值和对应的特征向量。
四、证明题（每题10分，共20分）
1. 证明：若 $ A $ 是正交矩阵，则 $ A^T $ 也是正交矩阵。
2. 证明：若 $ \lambda $ 是矩阵 $ A $ 的特征值，则 $ \lambda^n $ 是 $ A^n $ 的特征值。
第一套参考答案
一、填空题
1. $-2$
2. $-1$
3. $1, 3$
4. $n - r$
5. $I$
二、选择题
1. A
2. D
3. B
4. A
三、计算题
1. $ \det(A) = 0 $
2. $ B^{-1} = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} $
3. 线性相关
4. 特征值：$ \frac{5 \pm \sqrt{17}}{2} $；特征向量分别为对应方向上的向量
四、证明题
略（可参考教材或课程笔记）
第二套试题
一、填空题（每题4分，共20分）
1. 若矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} $，则其行列式为 ______。
2. 向量 $ \vec{a} = (2, -1, 0) $ 和 $ \vec{b} = (1, 2, -3) $ 的叉积为 ______。
3. 矩阵 $ D = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} $ 的特征值为 ______。
4. 若 $ A $ 是一个 $ 4 \times 4 $ 矩阵，且 $ \text{rank}(A) = 2 $，则其零空间的维数为 ______。
5. 若 $ A $ 是正交矩阵，则 $ A^{-1} = $ ______。
二、选择题（每题5分，共20分）
1. 下列矩阵中，是单位矩阵的是（ ）
A. $ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} $
B. $ \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} $
C. $ \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} $
D. $ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} $
2. 设 $ A $ 是一个 $ 2 \times 2 $ 矩阵，且 $ \det(A) = 0 $，则下列说法正确的是（ ）
A. $ A $ 可逆
B. $ A $ 的秩为2
C. $ A $ 的列向量线性无关
D. $ A $ 的行向量线性相关
3. 向量组 $ \{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)\} $ 是（ ）
A. 线性相关
B. 线性无关
C. 无法判断
D. 与基底无关
4. 若 $ A $ 是对称矩阵，则其特征值一定是（ ）
A. 实数
B. 虚数
C. 零
D. 正数
三、计算题（每题10分，共40分）
1. 计算矩阵 $ E = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 10 \end{bmatrix} $ 的行列式。
2. 求矩阵 $ F = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} $ 的逆矩阵。
3. 设 $ \vec{v}_1 = (1, 1, 1) $，$ \vec{v}_2 = (1, 2, 3) $，$ \vec{v}_3 = (1, 3, 5) $，判断该向量组是否线性相关。
4. 求矩阵 $ G = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} $ 的特征值和对应的特征向量。
四、证明题（每题10分，共20分）
1. 证明：若 $ A $ 是正交矩阵，则 $ A^T $ 也是正交矩阵。
2. 证明：若 $ \lambda $ 是矩阵 $ A $ 的特征值，则 $ \lambda^n $ 是 $ A^n $ 的特征值。
第二套参考答案
一、填空题
1. $5$
2. $(3, 6, 5)$
3. $3, -1$
4. $2$
5. $A^T$
二、选择题
1. A
2. D
3. B
4. A
三、计算题
1. $ \det(E) = 3 $
2. $ F^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} $
3. 线性相关
4. 特征值：$3, 1$；特征向量分别为对应方向上的向量
四、证明题
略（可参考教材或课程笔记）
以上两套试卷内容全面，难度适中，适合用于期末复习或模拟测试。建议考生在练习时结合教材与课堂笔记进行深入理解，提升综合应用能力。
