【高中数学教案】一、教学函数的单调性

二、教学目标：

1. 理解函数单调性的定义，掌握判断函数单调性的基本方法；

2. 能够通过图像或解析式判断函数在某一区间上的增减性；

3. 培养学生的观察力和逻辑思维能力，提升分析问题和解决问题的能力。

三、教学重点与难点：

- 重点：函数单调性的定义及其判断方法；

- 难点：理解函数在不同区间内的单调性变化，以及如何利用导数判断单调性。

四、教学准备：

- 教材：人教版高中数学必修一；

- 教具：多媒体课件、黑板、粉笔；

- 学生预习复习函数的基本概念，了解函数图像的性质。

五、教学过程：

1. 导入新课（5分钟）

通过生活中的实例引入函数的单调性。例如，汽车行驶过程中速度随时间的变化情况，或者气温随时间的变化趋势，引导学生思考“什么时候函数是递增的，什么时候是递减的”。

2. 新知讲解（15分钟）

- 定义：如果在某个区间内，当x₁ < x₂时，都有f(x₁) < f(x₂)，则称函数在这个区间上是增函数；反之，则为减函数。

- 图像特征：增函数的图像从左向右上升，减函数的图像从左向右下降。

- 判断方法：可以通过图像观察法、代数法（比较f(x₁)与f(x₂)）或导数法（若f’(x) > 0，则函数在该区间上为增函数；若f’(x) < 0，则为减函数）。

3. 例题分析（15分钟）

举例说明如何判断函数的单调性：

- 例1：判断函数f(x) = x²在区间(-∞, 0)上的单调性。

- 分析：取x₁ = -2，x₂ = -1，显然x₁ < x₂，f(x₁) = 4，f(x₂) = 1，因此f(x₁) > f(x₂)，说明函数在该区间上是减函数。

- 例2：判断函数f(x) = 2x + 3的单调性。

- 分析：该函数是一次函数，斜率为正，故在整个定义域上为增函数。

4. 学生练习（10分钟）

提供几道题目让学生独立完成，并鼓励他们互相讨论，教师巡视指导。

- 练习题：

1. 判断函数f(x) = -x²在区间(0, +∞)上的单调性；

2. 求函数f(x) = x³的导数，并判断其单调性。

5. 小结与作业布置（5分钟）

- 小结：回顾函数单调性的定义、判断方法及应用；

- 作业：完成教材第32页的练习题1、2、3，要求写出判断过程。

六、教学反思：

本节课通过实际例子引导学生理解抽象的数学概念，增强了学生的兴趣和参与感。但在讲解导数法时，部分学生仍存在理解困难，后续需加强基础训练与巩固。

七、板书设计：

```

函数的单调性

1. 定义：

- 增函数：x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂)

- 减函数：x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂)

2. 判断方法：

- 图像观察法

- 代数比较法

- 导数法（f’(x) > 0 ⇒ 增函数；f’(x) < 0 ⇒ 减函数）

3. 例题：

- f(x) = x² 在 (-∞, 0) 上为减函数

- f(x) = 2x + 3 为增函数

```

八、教学延伸（可选）：

建议学生课后查阅相关资料，了解函数单调性的实际应用，如经济模型、物理运动等，增强数学与现实生活的联系。