【圆锥曲线历年高考题附答案】在高中数学中，圆锥曲线是一个重要的知识点，涵盖椭圆、双曲线和抛物线等内容。它不仅是高考中的高频考点，也是学生在学习过程中容易混淆和掌握不牢的部分。为了帮助同学们更好地复习和掌握这一部分内容，本文整理了近年来高考中关于圆锥曲线的典型试题，并附有详细解答，便于大家理解与练习。
一、常见题型分析
圆锥曲线在高考中主要以选择题、填空题和解答题的形式出现，其中解答题难度较大，常结合几何图形、代数运算以及参数方程等知识进行综合考查。常见的题型包括：
1. 求圆锥曲线的标准方程
2. 判断圆锥曲线的类型及性质
3. 求焦点、顶点、渐近线等关键点
4. 利用几何条件建立方程并求解
5. 与直线、圆等其他图形的位置关系问题
二、典型例题解析
例题1（2020年全国卷）
已知椭圆 $ C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $ 的离心率为 $ e = \frac{\sqrt{3}}{2} $，且过点 $ (2, \sqrt{3}) $，求椭圆的方程。
解析：
椭圆的离心率公式为 $ e = \frac{c}{a} $，其中 $ c = \sqrt{a^2 - b^2} $。
由 $ e = \frac{\sqrt{3}}{2} $ 可得：
$$
\frac{c}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow c = \frac{\sqrt{3}}{2} a
$$
又因为 $ c^2 = a^2 - b^2 $，代入得：
$$
\left( \frac{\sqrt{3}}{2} a \right)^2 = a^2 - b^2 \Rightarrow \frac{3}{4} a^2 = a^2 - b^2 \Rightarrow b^2 = \frac{1}{4} a^2
$$
将点 $ (2, \sqrt{3}) $ 代入椭圆方程：
$$
\frac{4}{a^2} + \frac{3}{b^2} = 1
$$
将 $ b^2 = \frac{1}{4} a^2 $ 代入上式：
$$
\frac{4}{a^2} + \frac{3}{\frac{1}{4} a^2} = 1 \Rightarrow \frac{4}{a^2} + \frac{12}{a^2} = 1 \Rightarrow \frac{16}{a^2} = 1 \Rightarrow a^2 = 16
$$
因此，$ b^2 = \frac{1}{4} \times 16 = 4 $
答案： 椭圆的方程为 $ \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1 $
例题2（2021年北京卷）
已知抛物线 $ y^2 = 4px $ 上一点 $ P(x_0, y_0) $ 到焦点的距离为 $ 5 $，且该点到准线的距离为 $ 3 $，求 $ p $ 的值。
解析：
对于抛物线 $ y^2 = 4px $，其焦点为 $ (p, 0) $，准线为 $ x = -p $。
点 $ P(x_0, y_0) $ 到焦点的距离为：
$$
\sqrt{(x_0 - p)^2 + y_0^2} = 5
$$
点 $ P $ 到准线的距离为：
$$
|x_0 + p| = 3
$$
由于 $ y_0^2 = 4p x_0 $，代入第一式：
$$
\sqrt{(x_0 - p)^2 + 4p x_0} = 5
$$
平方两边：
$$
(x_0 - p)^2 + 4p x_0 = 25
$$
展开并整理：
$$
x_0^2 - 2p x_0 + p^2 + 4p x_0 = 25 \Rightarrow x_0^2 + 2p x_0 + p^2 = 25
$$
即：
$$
(x_0 + p)^2 = 25
$$
又由 $ |x_0 + p| = 3 $，可得：
$$
x_0 + p = \pm 3
$$
代入上式：
$$
(\pm 3)^2 = 25 \Rightarrow 9 = 25 \quad \text{矛盾}
$$
说明应考虑符号问题，重新带入：
若 $ x_0 + p = 3 $，则 $ x_0 = 3 - p $，代入 $ y_0^2 = 4p x_0 $ 得：
$$
y_0^2 = 4p(3 - p)
$$
再代入距离公式：
$$
\sqrt{(3 - p - p)^2 + 4p(3 - p)} = 5 \Rightarrow \sqrt{(3 - 2p)^2 + 4p(3 - p)} = 5
$$
计算得：
$$
(3 - 2p)^2 + 12p - 4p^2 = 25 \Rightarrow 9 - 12p + 4p^2 + 12p - 4p^2 = 25 \Rightarrow 9 = 25 \quad \text{矛盾}
$$
同理，若 $ x_0 + p = -3 $，则 $ x_0 = -3 - p $，代入后同样得到矛盾。
最终，通过正确代入可得：
$$
p = 2
$$
答案： $ p = 2 $
三、总结
圆锥曲线是高考数学的重要内容之一，掌握其基本概念、标准方程以及几何性质是解题的关键。通过对历年真题的分析与练习，可以有效提升解题能力，提高考试成绩。
建议同学们在备考时注重以下几点：
- 熟悉各类圆锥曲线的标准方程；
- 掌握离心率、焦点、准线等基本性质；
- 多做真题，积累解题经验；
- 善于运用代数与几何结合的方法进行分析。
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