【一元二次方程试题及答案】一元二次方程是初中数学中的重要内容，也是中考和各类考试中常见的题型。掌握好一元二次方程的相关知识，不仅有助于提升数学成绩，还能为后续学习二次函数、不等式等内容打下坚实基础。
下面是一份关于一元二次方程的测试题及其参考答案，适用于学生自我检测或教师出题使用。
一、选择题（每题3分，共15分）
1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. $ x + 2 = 0 $
B. $ x^2 + 3x - 4 = 0 $
C. $ 2x + y = 5 $
D. $ x^3 - 2x + 1 = 0 $
答案：B
2. 方程 $ x^2 - 5x + 6 = 0 $ 的解是（ ）
A. $ x = 2 $ 或 $ x = 3 $
B. $ x = -2 $ 或 $ x = -3 $
C. $ x = 1 $ 或 $ x = 6 $
D. 无实数解
答案：A
3. 若方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 有两个相等的实数根，则判别式 $ \Delta $ 满足（ ）
A. $ \Delta > 0 $
B. $ \Delta = 0 $
C. $ \Delta < 0 $
D. 无法确定
答案：B
4. 方程 $ (x - 1)^2 = 9 $ 的解是（ ）
A. $ x = 4 $
B. $ x = -2 $
C. $ x = 4 $ 或 $ x = -2 $
D. 无解
答案：C
5. 若 $ x^2 + px + q = 0 $ 的两个根为 2 和 3，则 $ p + q $ 的值是（ ）
A. 5
B. 6
C. 11
D. 12
答案：C
二、填空题（每题4分，共20分）
1. 方程 $ x^2 - 4x + 3 = 0 $ 的根为 ________。
答案：1 和 3
2. 方程 $ 2x^2 + 4x = 0 $ 的解为 ________。
答案：0 和 -2
3. 若方程 $ x^2 + mx + 1 = 0 $ 有实数根，则 m 的取值范围是 ________。
答案：$ m \leq -2 $ 或 $ m \geq 2 $
4. 方程 $ x^2 - 6x + 9 = 0 $ 的根是 ________。
答案：3（重根）
5. 若一元二次方程的两根之和为 5，两根之积为 6，则该方程为 ________。
答案：$ x^2 - 5x + 6 = 0 $
三、解答题（每题10分，共30分）
1. 解方程：$ x^2 - 7x + 12 = 0 $
解：
将方程因式分解：
$ x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4) = 0 $
所以，解为 $ x = 3 $ 或 $ x = 4 $。
2. 已知方程 $ x^2 + 2x + k = 0 $ 有两个相等的实数根，求 k 的值。
解：
因为有两个相等的实数根，故判别式 $ \Delta = 0 $。
$ \Delta = 2^2 - 4 \times 1 \times k = 4 - 4k = 0 $
解得：$ k = 1 $
3. 一个矩形的长比宽多 3 米，面积为 28 平方米，求这个矩形的长和宽。
解：
设宽为 $ x $ 米，则长为 $ x + 3 $ 米。
根据面积公式：
$ x(x + 3) = 28 $
展开并整理得：
$ x^2 + 3x - 28 = 0 $
解得：
$ x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{121}}{2} = \frac{-3 \pm 11}{2} $
所以，$ x = 4 $ 或 $ x = -7 $（舍去负数）
因此，宽为 4 米，长为 7 米。
四、拓展题（10分）
已知方程 $ x^2 + ax + b = 0 $ 的两根为 $ m $ 和 $ n $，且满足 $ m + n = 5 $，$ mn = 6 $，求 a 和 b 的值。
解：
由韦达定理可知：
$ m + n = -a = 5 $ → $ a = -5 $
$ mn = b = 6 $ → $ b = 6 $
总结：
通过以上练习，可以加深对一元二次方程的理解，熟练掌握其解法与应用。建议同学们在做题时注重步骤清晰、逻辑严谨，逐步提高解题能力。
