【等比数列的前n项和公式】在数学中，等比数列是一种重要的数列形式，其特点是每一项与前一项的比值为常数。等比数列的前n项和公式是解决实际问题的重要工具，广泛应用于金融、物理、工程等领域。
等比数列的一般形式为：
$$ a, ar, ar^2, ar^3, \ldots, ar^{n-1} $$
其中，$ a $ 为首项，$ r $ 为公比（$ r \neq 1 $），$ n $ 为项数。
当公比 $ r \neq 1 $ 时，等比数列的前n项和公式为：
$$ S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $$
如果公比 $ r = 1 $，则所有项都相等，此时前n项和为：
$$ S_n = a \cdot n $$
以下是等比数列前n项和公式的总结：
| 公式名称 | 公式表达式 | 适用条件 |
| 等比数列前n项和 | $ S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $ | $ r \neq 1 $ |
| 等比数列前n项和 | $ S_n = a \cdot n $ | $ r = 1 $ |
示例说明：
假设有一个等比数列，首项 $ a = 2 $，公比 $ r = 3 $，求前5项的和。
根据公式：
$$ S_5 = 2 \cdot \frac{1 - 3^5}{1 - 3} = 2 \cdot \frac{1 - 243}{-2} = 2 \cdot \frac{-242}{-2} = 2 \cdot 121 = 242 $$
因此，该等比数列的前5项和为242。
小结：
等比数列的前n项和公式是解决等比数列求和问题的核心方法。掌握这一公式不仅有助于理解数列的基本性质，还能提高在实际问题中的计算能力。通过合理选择公式，可以快速准确地求出结果。
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