【等比数列的三个公式】在数学中，等比数列是一种重要的数列形式，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数，称为公比。掌握等比数列的三个基本公式，是解决相关问题的关键。本文将对这三个公式进行简要总结，并通过表格形式清晰展示。

一、等比数列的基本概念

等比数列（Geometric Sequence）是指从第二项起，每一项都是前一项乘以一个固定数（即公比 $ q $）所形成的数列。一般形式如下：

$$

a_1, a_1q, a_1q^2, a_1q^3, \ldots

$$

其中：

- $ a_1 $ 是首项，

- $ q $ 是公比。

二、等比数列的三个重要公式

以下是等比数列中最常用的三个公式，分别用于求第 $ n $ 项、前 $ n $ 项和以及无穷等比数列的和（当 $ q < 1 $ 时）。

三、使用示例

假设有一个等比数列，首项 $ a_1 = 2 $，公比 $ q = 3 $，我们可以用上述公式计算：

- 第 5 项：

$$

a_5 = 2 \cdot 3^{5-1} = 2 \cdot 81 = 162

$$

- 前 4 项和：

$$

S_4 = 2 \cdot \frac{1 - 3^4}{1 - 3} = 2 \cdot \frac{1 - 81}{-2} = 2 \cdot 40 = 80

$$

- 若 $ q = \frac{1}{2} $，则无穷和为：

$$

S = \frac{2}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4

$$

四、小结

等比数列的三个公式是学习数列知识的基础内容，它们分别用于计算特定项、有限项之和以及无限项之和。熟练掌握这些公式，有助于提高解题效率，并为更复杂的数学问题打下坚实基础。通过表格的形式，可以更直观地理解每个公式的应用场景和适用条件。

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