【矩阵乘法计算公式】在数学和计算机科学中，矩阵乘法是线性代数中的一个重要运算。它被广泛应用于图像处理、机器学习、物理模拟等领域。矩阵乘法的规则与普通数字的乘法不同，需要满足一定的条件才能进行运算。
一、矩阵乘法的基本定义
设矩阵 A 是一个 m × n 的矩阵，矩阵 B 是一个 n × p 的矩阵，则它们的乘积 C = A × B 是一个 m × p 的矩阵。其中，每个元素 C[i][j] 的计算方式如下：
$$
C[i][j] = \sum_{k=1}^{n} A[i][k] \times B[k][j
$$
也就是说，C 中第 i 行第 j 列的元素是 A 的第 i 行与 B 的第 j 列对应元素相乘后的总和。
二、矩阵乘法的条件
- 矩阵 A 的列数必须等于矩阵 B 的行数（即 n）。
- 结果矩阵 C 的行数等于 A 的行数（m），列数等于 B 的列数（p）。
三、矩阵乘法计算步骤
1. 确定两个矩阵是否可以相乘（列数与行数是否一致）。
2. 对于结果矩阵中的每一个元素 C[i][j]：
- 取出 A 的第 i 行；
- 取出 B 的第 j 列；
- 将对应的元素相乘并求和，得到 C[i][j]。
四、矩阵乘法示例
假设矩阵 A 和 B 分别为：
$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{bmatrix}, \quad
B = \begin{bmatrix}
5 & 6 \\
7 & 8
\end{bmatrix}
$$
那么它们的乘积 C = A × B 为：
$$
C = \begin{bmatrix}
1×5 + 2×7 & 1×6 + 2×8 \\
3×5 + 4×7 & 3×6 + 4×8
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
19 & 22 \\
43 & 50
\end{bmatrix}
$$
五、矩阵乘法总结表
| 名称 | 内容说明 |
| 矩阵乘法 | 两个矩阵相乘时，第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数。 |
| 计算公式 | $ C[i][j] = \sum_{k=1}^{n} A[i][k] \times B[k][j] $ |
| 结果矩阵大小 | 若 A 是 m×n，B 是 n×p，则 C 是 m×p |
| 元素计算方式 | 第 i 行与第 j 列对应元素相乘后求和 |
| 示例 | A = [[1,2],[3,4]], B = [[5,6],[7,8]] → C = [[19,22],[43,50]] |
六、注意事项
- 矩阵乘法不满足交换律，即 A × B ≠ B × A（除非特殊情况下）。
- 矩阵乘法满足结合律和分配律，即：
- $ (A × B) × C = A × (B × C) $
- $ A × (B + C) = A × B + A × C $
通过以上内容可以看出，矩阵乘法虽然看似复杂，但只要掌握其基本规则和计算方法，就能在实际应用中灵活运用。
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